Vendredi 15 mai 2020 à 9:15

Biologie, santé.

J'avais fait le premier mai, un article sur les modèles de prévision des épidémies. Mais ce n'était peut être pas assez clair car j'avais voulu trop simplifier et on m' demandé de faire un article plus complet.
          Je le fais donc aujourd'hui, mais c'est un problème complexe et l'explication va être longue.
          Les principaux renseignements que j'ai utilisés  proviennent d’un article de Wikipédia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Modèles_compartimentaux_en_épidémiologie) et d’une visio-conférence du Professeur Philippe Dumas (ENS Ulm, ancien directeur de Polytech Marseille)(https://cloud.cinam.univmrs.fr/owncloud/index.php/s/cKCTMduxPzgZO4O#pdfviewer) .


       La propagation d’un agent infectieux au sein d’une population est un phénomène dynamique : les effectifs d’individus sains et malades évoluent dans le temps, en fonction des contacts au cours desquels cet agent passe d’un individu infecté à un individu sain non immunisé, l’infectant à son tour. Un tel phénomène peut être étudié en le modélisant par des équations et en déterminant son comportement à travers la résolution numérique de ces équations.

          Les modèles mathématiques d’épidémies ont besoin de deux grand types de facteurs :
               - Les caractéristiques de la population démographiques et géographiques : nombre, densité, type d’habitat, sexe, âge, structure familiale et ce qui est plus difficile à connaître les flux journaliers et les taux de contact entre personnes, très différents selon les régions, les lieux, les métiers et occupations de chacun, car dans une épidémie la transmission se fait souvent par contact ou cohabitation dans un même lieu, notamment de travail, une même pièce, un même moyen de transport.
                - Les données sur la maladie que l’on peut représenter sur le graphique ci-
après :

Davantage d'informations sur les méthodes de prévision des épidémies.

           A noter que le temps de latence est celui à partir duquel on est contagieux, et qui peut être inférieur à l'incubation, qui est le temps au bout duquel apparaissent les symptômes de la maladie. Pour le Covid19, il semble que l'on puisse être contagieux 2 ou 3 jours avant l'apparition des symptômes, (s'il y en a, puisqu'il peut y avoir aussi des "porteurs sains").

Les modèles mathématiques pour prédire les épidémies sont donc très complexes et en général, organisés en "compartiments", dans lesquels on simule les phénomènes par des équations différentielles. 
        Dans le cas d'un virus comme le Covid19, dont les conséquences sont très variables, le compartiment des personnes malades peut être scindé en plusieurs sous-compartiments, tels "personnes à faibles symptômes", "malades à domicile", "personnes hospitalisées" et "personnes en réanimation". Il peut y avoir en outre des gens immunisés à la naissances ou vaccinées

 

Davantage d'informations sur les méthodes de prévision des épidémies.

 Le but de la simulation est de calculer le nombre de personnes dans chaque compartiment, en fonction du temps S(t),(t), M(t) ....en fonction de paramètres qui régissent les variation de ces fonctions à chaque instant, lesquels dépendent des connaissances que l'on a de la maladie.

Pour simplifier on se limitera à un système à trois compartiments :

Davantage d'informations sur les méthodes de prévision des épidémies.
 
          Parmi les personnes saines S d’une population de N membres, I personnes sont infectées, mais parmi elles, G malades guérissent. 

         Les trois compartiments échangeant en permanence des flux.

Pour modéliser ces échanges, on définit deux paramètres :  
                  - Une probabilité béta, ß, pour qu’une personne infectée rencontre dans la population de N membres, une personne saine et l’infecte.
         La  probabilité ß dépend de l’environnement : elle  sera plus faible, en campagne que dans une ville, et plus forte dans un EPAD où les personnes sont confinées ou à fortiori sur un porte-avion ou un internat à dortoirs.
         Une étude menée sur l’épidémie de covid19 dans le navire de croisière Diamond princess a montré qu’une personne en contaminait en moyenne 7, alors que dans la population, c’est un peu inférieur à 3.
                  - Une probabilité gamma, γ, pour qu’une personne infectée guérisse et redevienne donc saine.
          Ces deux paramètres ne sont pas connus. On les fera varier pour connaître leur importance et se rapprocher des résultats expérimentaux, qui permettront de leur attribuer une valeur approximative.. 

Au départ de l’épidémie, le nombre de personnes infectées I est faible et le nombre de personnes saines S est pratiquement égal à la population N.
          A chaque instant dt, le nombre de personnes nouvellement infectées dI est égal à :        dI = ß. I  dt      et S diminue de cette quantité    dS = - ß.I dt     
          S diminue peu à peu et la probabilité ß ne s‘applique plus qu’à la proportion S/N donc                           dI = ß . S / N. I. dt
          Mais il faut tenir compte des guérisons possibles dG = γ. I dt  que l’on soustrait du chiffre des infectés et en définitive :
                      dI = dt (ß.S / N.I – γ.I)   ce qui s’écrit aussi    dI/I = dt . (ß.S / N. – γ.)
                      soit en intégrant    Ln I = ∫(ß.S(t) / N. – γ.) dt = f(t)  et    I = e f(t)      
          Au début de l’épidémie, le nombre d’infections I va croître donc exponentiellement tant que  (ß.S(t) / (N. – γ ) >0, c’et à dire S/N > γ / ß
          Mais S diminuant, le nombre d’infection ralentit, passe par un maximum et lorsque S/N < γ / ß, le coefficient de l’exponentielle devient négatif et le nombre d’infection diminue de façon exponentielle, ce qui met fin au flux, une grande partie des personnes de la population ayant été contaminées successivement. Dans le cas du coronavirus, si ß = 3 et γ =1, le nombre maximal de personnes contaminées serait de ß / γ = 1 / 3. N

          Le rapport ß / γ est appelé R0. C’est en moyenne le rapport entre la probabilité de contamination en la probabilité de guérison. C’est en moyenne le nombre de personnes saines que peut contaminer une personne infectée.
          Il y a donc un pic de contamination obtenu pour dI / dt = 0 et donc 
                                      S/N  =  γ
 / ß  = 1 / Ro
          Ceci en l’absence de mesures telles de confinement ou autres qui changeraient les divers facteurs.

         Le confinement va diminuer la valeur de S, un nombre faible de personnes risquant alors d’être infecté.
        L’amélioration des soins et de médicaments  accroîtra la valeur du  coefficient γ.            

        L’allure de la courbe pour ß = 0,3, γ= 0,1 et N = 100 000 est la suivante, sans mesure particulière pour lutter contre l’épidémie, qui se propage donc naturellement :

Davantage d'information sur les méthodes de prévision des épidémies.


Davantage d'informations sur les méthodes de prévision des épidémies.         On remarquera que sur le graphique logarithmique, la partie exponentielle des courbes de montée et de descente de la valeur de I est très voisine de deux droites. (en bleu)

         Ces deux droites sont une approximation des courbes de l’épidémie et se coupent en un point où I = N (alors que le max de I est de 1/R0 par rapport à N serait environ 1/3 pour le covid 19.)
          La droite correspondant au développement de l’épidémie, passe par I0 = 10 pour t = 0 et par le point pour lequel I = N (100 000, et elle a une pente de dI/dt = ß.S(t) / N. –γ c’est à dire pour S = N de ß – γ
         On peut donc calculer une approximation du temps du maximum
                  Ln (100 000) – Ln(10) = (ß – γ) ∆t  d’où ∆t =  (11,2 – 2,3) / (0,3-0,1)  = 46 jours
          La pente de la droite descendante est – gamma puisque elle est issue du point où I = N et qu’elle correspond donc à une absence de nouveaux cas et sa pente ne dépend donc plus que des guérisons et donc du coefficient gamma.

Davantage d'informations sur les méthodes de prévision des épidémies.       Il faut différencier deux pics :

                  - Celui du nombre total de personnes infectées i , (en rouge).

                   -  Celui du nombre de nouvelles personnes infectées chaque jour dI / dt  (en bleu).

Le pic des nouveaux infectés précède légèrement celui du nombre total d’infectés

           Il faut toutefois se rendre compte que dans le modèle on compte toutes les personnes qui sont dans ces cas, alors que dans la réalité, il est difficile de les recenser, car certaines personnes ne se rendent pas compte qu’elle sont malades et ne consultent pas et il peut y avoir de porteurs sains. Dans le cas  du coronavirus c’est un handicap, car cela peut représenter 20 à 30 % de la population.
          Les valeurs que l’on a des coefficients ß et R0 sont donc approximatives et peuvent être assez variables selon l’environnement.

         Quelques R0 caractéristiques de maladies courantes :

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          Le modèle ci-dessus montre que si en France on restait face à la maladie sans rien faire, avec R0 = 3 on aurait un tiers de la population infectée, soit 20 millions.
          Si 15% ont besoin de soins intensifs :  --> 3 millions. Disponibles 10 000

          Si 1/3 avec assistance respiratoire : --> 1 million . Disponibles 5 000
          La mortalité même avec un chiffre bas de 3% ---> 600 000 morts

          D’où la nécessité du confinement qui diminue la population qui peut être atteinte S et de « gestes barrières » qui diminuent la probabilité ß de contamination, (la probabilité de guérison γ restant fixe si les moyens de soins ne sont pas débordés par l’afflux de malades)
          Isoler (par exemple en hôtel), les malades, qui ne sont pas gravement atteints, mais sont cependant contagieux, peut être aussi une mesure importante, car elle diminue fortement le contacts infectieux donc le coefficient ß

           En ce qui concerne le confinement, un raisonnement simple permet de comprendre son effet sur le sombre de personnes S0 qui peuvent être contaminés:
          Supposons qu’on soit au début de l’infection qu’il y ait environ 0,1% de personnes infectées. On a donc une chance sur mille d’être infecté .
          Si on confine en coupant ces 60 millions de personnes en 12 millions de groupes de 5 personnes confinées. Il y a 5 pour mille de chances pour qu’une telle cellule soit infectée et donc 99,5 % de chances qu’elle ne soit pas infectée, ce qui représente donc un groupe à risque de 12 millions x 0,5 % = 60 000 personnes
          On a donc fait passer la population à risque de S0 de 60 millions à 60 000, ce qui l’a divisé par 1000, ce qui permet de ramener les besoins sanitaires au-dessous des moyens existants, lorsque l’épidémie va se développer.
          Certes un tel confinement total n’est pas possible, puisqu’il faut q’une partie des personnes travaille ou ayillent se ravitailler, mais cela permet de comprendre l’intérêt de l’opération.

          En définitive, le modèle ci-dessus à 3 compartiments est très simpliste, mais il permet de se rendre compte des principes de prévision, de sa difficulté aussi, car face à un nouveau virus, on ne connaît pas ses caractéristiques, et on obtient difficilement de chiffres du développement de l’épidémie (il est par exemple difficile de connaître le nombre exact de personnes infectées, en raison des cas asymptomatiques et des personnes faiblement atteintes, qui ne consultent pas un médecin.). Les paramètres sont donc difficiles à déterminer.
          Par ailleurs les calculs faits sont plus complexes et ne sont pas littéraux, mais on fait des simulations. Dans le cas ci-dessus des trois compartiments, on serait par exemple parti d’une hypothèse de valeur des paramètres ß et γ, et d’un I0 par exemple de 10 et on aurait demandé à l’ordinateur, de calculer chaque jour la valeur du nombre d’infectés I, de la population restante S et du nombre de guéris G. L’ordinateur trace ensuite les courbes en fonction du temps, que l’on compare à la réalité. On prend une autre valeur des paramètres et on regarde si elle est plus proche du réel.
          Dans le cas du covid19, étant donné la difficulté pour avoir des valeurs réelles de I, il est nécessaire de traiter davantage de compartiments car les seuls chiffres sûrs sont les entrées à l’hôpital, les mises en réanimation et les décès.
          Mais le modèle simple à 3 compartiments permet de se rendre compte de la gravité de la propagation du virus si aucune mesure n’est prise, et de la conséquence inexorable alors, du débordement des moyens sanitaires.



Par jazz le Jeudi 21 mai 2020 à 15:31
un musical 'jazz' bonjour Jean-Pierre
avec toujours sur jazz, le plein de musicales découvertes
A+ du troubadour Emmanuel
 

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